Monty Hall Problem



電影 <<決勝 21 點>> 裡面, 出現以下的情節:



這是我在飛機上收看的電影. 不過, 我尚未完成整套電影, 已經是時候落機了. 回港後, 我決心找出那個 "機會率" 的問題. 在 internet 搜查一番, 原來這是一個名為 "Monty Hall Problem" 的數學遊戲問題.
問題是這樣的~~

假設你在參與一個遊戲節目. 現在有三扇門給你選擇. 三扇門當中, 其中一扇的後面是一輛車, 而其他兩扇門後面則各有一隻羊. 車及羊都是在節目前隨意被人擺放在三扇門後面.

遊戲規則是: 當你選擇一扇門之後, 那扇門仍然被關上. 而節目主持 (清楚知道車及羊被擺放在門後的位置) 則會打開剩餘兩扇門的其中一扇. 不過, 他所打開的必定是羊在後面的門. (如果你揀選的門後是車, 他可以隨意打開剩餘的其中一扇.) 當他打開一扇後面是羊的門, 他會問你, 你會堅持你當初的選擇, 還是轉換你的選擇?

假設你一開始揀選的是 1 號門, 主持打開是羊在後面的 3 號門. 他會問你: "你會改變你的選擇為 2 號門嗎?"

基本上, 大家的第一個想法都會是: 改變我的選擇, 或是不不改變的我選擇, 其實都沒有關係. 原本 1/3 機會會估中, 現在開了一扇 "羊" 的門, 剩下一扇 "車" 的門及一扇 "羊" 的門. 無論我改變我的選擇與否, 機會率是一半一半. 原來... 事情不是這樣的!!! 答案是: 如果你想贏車, 你是應該改變你的選擇. 就以上的例子, 如果你放棄一開始選擇的 1 號門, 轉為揀選 2 號門, 選中 "車" 的機會率是超過一半的!

為甚麼呢? 我在 Wikipedia 找來一幅清楚的圖畫作為解說.

假設你揀選的是 1 號門 ~~~

1 號門是車. 主持隨意打算剩餘的其中一扇門.

• 情況 (i) 若然主持打開 2 號門, 而你改變選擇, 由 1 號門改為 3 號門, 你輸了. 而這個輸的機會率 = 1/3 x 1/2 = 1/6.


• 情況 (ii) 若然主持打開 3 號門, 而你改變選擇, 由 1 號門改為 2 號門, 你同樣輸了. 而這個輸的機會率 = 1/3 x 1/2 = 1/6.

2 號門才是車. 主持只可以打開 3 號門.

• 你改變選擇, 由 1 號門改為 2 號門, 你贏了. 而這個贏的機會率 = 2/3 x 1/2 = 1/3.

3 號門才是車. 主持只可以打開 2 號門.

• 你改變選擇, 由 1 號門改為 3 號門, 你贏了. 而這個贏的機會率 = 2/3 x 1/2 = 1/3.

結果, 輸的機會率 = 1/6 + 1/6 = 1/3, 而贏的機會率 = 1/3 + 1/3 = 2/3.

如果參考以上的圖畫, 你不太明白, 不要緊. 我還在 Youtube 找到一個解說的短片, 應該容易理解一點的.